Доказать, что при любом x ∈ R, x^16-x^12+x^8-x+1>0

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

0" alt="x^{16}-x^{12}+x^8-x+1>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Если $x \leq -1$ , то имеем
$x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 \geq x^8-x+1$
Отсюда

0" alt="x^8-x+1>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Если $-1 \leq x \leq 0$ , то имеем

0" alt="x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 \geq x^{16}+x^8+1 \\ x^{16}+x^8+1>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Если $0 \leq x \leq 1$ , то имеем

0" alt="x^{16}-x^{12}+x^8-x+1 \geq x^{16}-x+1 \\ x^{16}-x+1 \geq x^{16} \\ x^{16}>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Если

1," alt="x>1," align="absmiddle" class="latex-formula"> то

x^8-x+1 \\ x^8-x+1>1 \\ 1>0" alt="x^{16}-x^{12}+x^8-x+1>x^8-x+1 \\ x^8-x+1>1 \\ 1>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Отсюда, во всех возможных , левая часть уравнение принимает только положиьельные значения, отсюда х - любое число

Что и требовалось доказать

аноним 20 Март, 18

аноним · Answer 1 · 2018-03-20T09:18:33+0000

Рассмотрим три случая:

1) x<0<br>
При любом x<0 верно x^16+x^8>x^12 (т.к. все слагаемые положительны из-за чётной степени), а значит, x^16-x^12+x^8>0.
Осталось доказать, что -x+1>0. Перенесем -x в правую часть и получим x<1, что удовлетворяет нашему условию x<0, а значит, -x+1>0.

Т.к. x^16-x^12+x^8>0 и -x+1>0, всё выражение больше 0.

2) x=0

Подставим x=0 в x^16-x^12+x^8-x+1>0 и получим верное неравенство 1>0, т.е. и в этом случае всё выражение больше 0.

3) x>0

При любом x>0 верно x^16>x^12, а значит x^16-x^12>0.
Осталось доказать, что x^8-x+1>0. При любом x>0 x^8>x, а значит, x^8-x>0.
1>0.

Т.к. x^16-x^12>0 и x^8-x>0 и 1>0, всё выражение больше 0.

Т.е. при x∈R выражение больше 0