Найти интеграл при помощи универсальной тригонометрической подстановки1/(5+4*sin(x))

Универсальная тригонометрическая подстановка:
$\frac{dx}{dt} = \frac{2dt}{1+t^2} \\ sinx= \frac{2t}{1+t^2} \\ \int\limits {\frac{dx}{5+4sinx} }= \int\limits \frac{2dt}{(1+t^2)(5+4 \frac{2t}{1+t^2} )} = 2 \int\limits \frac{dt}{5(1+t^2)+8t}= 2 \int\limits \frac{dt}{5t^2+8t+5}$
Это табличный интеграл (если в вашей таблице его нет, напиши, будет его подробнее вычислять)
$b^2-4ac=8^2-4*5*5=64-100=-36$
При отрицательном значении формула имеет вид
$2 \int\limits \frac{dt}{5t^2+8t+5}= 2*\frac{2}{ \sqrt{4ac-b^2} } arctg( \frac{2ax+b}{ \sqrt{4ac-b^2} } )+C= \\ =\frac{4}{ \sqrt{4*5*5-8^2} } arctg( \frac{2*5x+8}{ \sqrt{100-64} } )+C= \\ =\frac{4}{6 } arctg( \frac{10x+8}{ 6 } )+C=\frac{2}{3 } arctg( \frac{10x+8}{ 6 } )+C$