Все стороны трапеции выражаются целыми числами, одна из её диагоналей равна 12. Найдите...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Пусть наша трапеция $ABCD$ , боковые стороны которые $AB;CD$ , обозначим их как соответственно $n,m$ , пусть $x;y$ отрезки другой диагонали , и пусть $u;v$ отрезки диагонали $12$ ,из подобия треугольников $BOC;AOD$ $O$ пересечения диагоналей , получим
$\frac{u}{v}=\frac{8}{18}\\ \frac{u}{12-u}=\frac{4}{9} \\ u=\frac{48}{13}\\ v=\frac{108}{13}$
По неравенству треугольников 8\\ x+8>\frac{48}{13}\\ 8+\frac{48}{13}>x" alt="x+\frac{48}{13}>8\\ x+8>\frac{48}{13}\\ 8+\frac{48}{13}>x" align="absmiddle" class="latex-formula"> получим что $x \in [5;11]$
а для $AOB$ $n \in [5;8]$ , то есть всего 4 значения
но для $n=5;6$ не подходит так как
$x^2+\frac{48}{13}^2-2*x*\frac{48}{13}*cosBOC=8^2\\ x^2+\frac{108}{13}^2-2*x*\frac{108}{13}*-cosBOC=n^2$
когда $n=5;6$ $x<0$ что не подходит , тогда
$n=7;8$ , проверим оба , при $n=7$ , другая часть диагонали не будет входит в отрезок , по тем же самым причинами что сказано вверху, только для треугольников $COD;AOD$ , подходит $n=8$ при этом $m=12$ что верно по неравенству треугольников

Найдем площадь трапеций , опустим высоты , и обозначим проекций высота $x;y$ , по теореме Пифагора
$\sqrt{12^2-x^2}=\sqrt{8^2-y^2}\\ x+y=10\\\\ x=1\\ y=9$
Высота трапеций равна $h=\sqrt{144-81}=\sqrt{63}\\ S=\frac{8+18}{2}*\sqrt{63} = 13\sqrt{63}$

Боковые стороны равны $8;12$
Площадь трапеций равна $13\sqrt{63}$

Матов_zn (224k баллов) 30 Март, 18