Центры двух пересекающихся окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды....

По формуле радиуса описанного окружности около правильного треугольника
$R_{1}=\frac{ \sqrt{3}}{3}a\\$ , квадрата $R_{2}=\frac{\sqrt{2}a}{2}$

так как радиус перпендикулярный к хорде делит ее пополам , по свойству хорд
$\frac{a}{2}^2=(\frac{2\sqrt{3}}{3}a-x)x\\ \frac{a}{2}^2=(\frac{2*\sqrt{2}a}{2}-y)y$

где $x;y$ отрезки радиуса,которые вне хорд
$\frac{a}{2}^2=(\frac{2\sqrt{3}}{3}a-x)x\\ \frac{a}{2}^2=(\frac{2*\sqrt{2}a}{2}-y)y \\ x=\frac{a}{2\sqrt{3}}\\ y=\frac{ a}{2+2\sqrt{2 }} \\$

теперь наше расстояние это
$R_{1}+R_{2}-(x+y)$ подставляя получаем
$\frac{a}{6}(3+\sqrt{3})$