В треугольной пирамиде ТАВС с вершиной Т и основанием АВС боковые ребра ТА, ТВ и ТС равны...

Question

В треугольной пирамиде ТАВС с вершиной Т и основанием АВС боковые ребра ТА, ТВ и ТС равны между собой. Точно Н проекция вершины Т на основание АВС.
Докажите, что Н - центр описанной окружности треугольника АВС.
Найдите ТН, если ТА= 13, площадь основания равна 24, а произведение сторон основания АВС равно480,

Answer 1

 Если соединить точку Н с вершинами треугольника, то получим три прямоугольных треугольника: АТН, ВТН, СТН. Они имеют общий катет ТН и равные гипотенузы ТА=ТВ=ТС. Эти треугольники равны по катету и гипотенузе.⇒НА=НВ=НС. Значит точка Н является центром описанной окружности, а НА=НВ=НС - радиусы этой окружности.
 ТН можно найти по теореме Пифагора ТН²=ТА²-АН².
 Найдем радиус описанной окружности из формулы R=(abc)(4S).
R=480/(4*24)=5( это АН)
TH²=13²-5²=144
TH=√144=12. Все.