10) Судя по рисунку, даны прямоугольный треугольник и биссектриса прямого угла.
По свойству биссектрисы катеты пропорциональны отрезкам АД и ВД.
Пусть они будут 15х и 20х.
Тогда по Пифагору 15²х² + 20²х² = 35².
225х² + 400х² = 1225.
625х² = 1225,
х² = 1225/625 = 49/25,
х = √(49/25) = 7/5.
Катеты равны 15*(7/5) = 21,
20*(7/5) = 28.
S = (1/2)*21*28 = 294.
11) АМ и КС равны 12 и 14.
ВК = ВМ примем за х.
Периметр 84 = 2х + 2*12 + 2*14.
2х =84 - 24 -28 = 32.
х = 32/2 = 16.
Стороны треугольника равны АВ = 28, ВС = 30 и АС = 26.
По формуле Герона находим S =√p(p-a)(p-b)(p-c) = 336.
12) АД = ДС= ЕС = 8х. АВ = ВС = 9х + 8х = 17х.
Периметр равен 2*17х-16х = 50х, полупериметр р = 50х/2 = 25х.
Высота h треугольника равна:
h = √((17х)²-(8х)²) = √(289х²-64х²) = √(225х²) = 15х.
Площадь S = (1/2)*AC*h = (1/2)*16x-15x = 120x².
Эта же площадь через известный радиус вписанной окружности равна:
S =pr. 120х² = 25х*24. х =(25*24)/120 = 5.
Тогда S = 120*5² = 120*25 = 3000.