В правильный треугольник со стороной а вписаны 3 окружности так чтобы каждая из них...

Question

В правильный треугольник со стороной а вписаны 3 окружности так чтобы каждая из них касалась друг друга и сторон треугольника. Найдите площадь криволинейного треугольника образованного точками касания трех окружностей.

Comments

я думаю, вам кажется. Попробуйте понять, как моя "формулировка" соответствует любой из формулировок учебников. Разберитесь с вписанными углами в первую очередь. Тогда будет понятно :)

---

мне известны две медианы опушенные на катеты прям. треуг-ка нужно найти гипотенузу. (я его нашел, но путем долгих вычислений потому что эти числа были иррациональными может есть способ полегче?)

---

а формулировку я понял

---

В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов - вот как заставляли учить нас. Разберитесь, почему это эквивалентно моей. А с медианами есть способ легче - не надо искать катеты :) a^2 + b^2/4 = m^2; a^2/4 + b^2 = n^2; => (5/4)*(a^2 + b^2) = m^2 + n^2;

---

просто в лицее учитель задал вопрос: Сам треугольник еще не задан а радиус описанной окружности уже известен это почему?

---

и еще какой угол будет называться плоским?

---

P точка внутри прямоугольника ABCD |PC|=3^1/2 |PB|=2^1/2 |PD|=6^1/2 |PA|=?

---

Потому что хорда видна под одинаковыми углами из любой точки одной из дуг окружности. А уж синус этого угла одинаковый для точек всей окружности.

---

с прямоугольником тот же метод что и с медианами там легко показать что PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2;

---

причем в одну строчку

Answer 1

Каждая из 3-х вписанных окружностей вписана в прямоугольный треугольник, на который делится высотами ( медианами и биссектрисами) исходный. Поскольку высоты из каждой вершины ∆ АВС равны, равны и вписанные в такие треугольники окружности. 

Сделаем рисунок и рассмотрим ∆ АСН.

Формула радиуса  вписанной в прямоугольный треугольник окружности 

r=(a+b-c):2, где а и b– катеты, с - гипотенуза. 

Угол НАС=30°

Гипотенуза АС=а, противолежащий углу 30°.2 катет НС=а/2

АН=АС•sin60°=a√3/2

r=(a√3/2+a/2-a):2=(a√3-a):4=a(√3-1):4

Соединив центры окружностей, получим правильный треугольник, стороны которого равны 2r. Каждый угол этого треугольника отсекает от окружностей по сектору с углом 60°. Всего таких секторов 3, площадь каждого равна 1/6 площади круга, значит, их общая площадь равна  3/6=1/2 площади круга.  

Искомая площадь криволинейного треугольника равна разности между площадью ∆ ОО1О2 и 1/2 площади одного из  вписанных кругов. 

S ∆ ОО1О2 по формуле площади правильного треугольника 

S=(2r)²•√3/4=r²√3

S(кp)=πr²

Искомая площадь r²√3-πr²/2=r²•(2√3-π):2 

 Подставим в это выражение найденный выше r = a(√3-1):4

S =[a(√3-1):4]²•(2√3-π):2 =a²(4-2√3)•(2√3-π):32

S =[a(√3-1):4]²•(2√3-π):2 =a²•(2-√3)•(2√3-π):16

После  вычислений получим искомую площадь равной 0,05401 а²

Comments

спасибо

Answer 2

Если рассмотреть построение получается, что в одну сторону треугольника вписываются по два радиуса этих окружностей и по две радиуса умноженных на корень(3) или
a = 2(r+r*корень(3)) 
или
r =  0.5*a/(1+корень(3))

Дело теперь на немногим - найти площадь просвета между касающимися окружностями. Очевидно он равен площади правильного треугольника Sт со стороной 2r за вычетом трех 60-градусных секторов круга с радиусом r Sо.

Площадь треугольника Sт = 0.5*2r*2r*корень(3)/2 = r*r*корень(3). Площадь трех секторов по 60 градусов - это половина площади круга Sо = п*r*r/2. То есть искомая площадь: S = Sт-Sо = r*r*корень(3) - п*r*r/2 = r*r*(корень(3) - п/2)

С учетом значения радиуса найденного выше:
S = 0.25*a*a*(корень(3) - п/2)/(1+корень(3))^2
или примерно 0.0054*a*a

Comments

Δ ° ρ φ γ α β π √ ∠ вам будет полезно при наборе решений.

---

кстати в условии не сказано, что все три окружности имеют один и тот же радиус.

---

хотя скорее всего это по ходу доказывается

---

спасибо