На доске записано 20 натуральных чисел. Известно, что сумма любых пяти из них не меньше...

Заметим, что в условии не сказано, что все числа разные. Будем считать, что числа записаны в порядке возрастания:

$a_1\le a_2\le\ldots\le a_{20}.$ Условие, что сумма любых пяти из них не меньше 117, равносильно тому, что сумма наименьших пяти не меньше 117:

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\ge 117.$ Чтобы сделать сумму всех чисел как можно меньше, надо сделать $a_5$ как можно меньше и взять все числа с большими номерами равными $a_5$ . Чтобы упростить рассуждение, приведу нужный набор чисел и докажу, что любой другой даст большую сумму:

$a_1=a_2=a_3=23,\ a_4=a_5=a_6=\ldots =a_{20}=24.$

Сумма первых пяти чисел равна 117, сумма всех равна 477. Сумма первых пяти тем самым минимально возможная, поэтому попытка сделать сумму всех чисел меньше приводит к тому, что $a_6$ должен стать меньше, чем 24, а тогда и пятый член окажется меньше 24, а тогда сумма первых пяти окажется не больше, чем $5\cdot 23=115<117$ .

Ответ: 477

** доске записано 20 натуральных чисел. Известно, что сумма любых пяти из них не меньше...