Пусть дана окружность с центром О и в нее вписан треугольник ABC. Соединим центр окружности О с вершинами A и B треугольника, а также опустим высоту ОE на сторону AB с центра окружности. Рассмотрим треугольник OEB, OE перпендикулярна AB, то есть угол OEB – прямой, OB=R (радиусу вписанной окружности) и OE=R/2 (по условию). Тогда по теореме Пифагора
(EB)^2=(OB)^2-(OE)^2=R^2-R^2/4=3R^2/4
EB=R*sqrt(3)/2
Рассмотрим треугольник AEO. Он равен треугольнику OEB, поскольку AO=OB=R и OE- общая сторона.
Тогда и AE=R*sqrt(3)/2, а значит
AB=AE+EB= R*sqrt(3)/2+ R*sqrt(3)/2=R*sqrt(3)
Поскольку в равносторонем треугольнике сторона равна R*sqrt(3), то и наше утверждение доказано